Millionen Entscheidungen!

Letzte Woche titelte die Aachener Zeitung mit “Mathematik? Brauchen wir die? Unbedingt!”. Der Redakteur Thorsten Karbach war so angetan von meiner Aussage, dass unser Alltag ohne Mathematik nicht mehr funktionieren würde (an dieser Stelle noch einmal herzlichen Dank für den tollen Artikel!), dass er einen Kollegen vorbeischickte, der ein kurzes Video mit mir gedreht hat. Es geht um ein kleines Optimierungsproblem aus der Produktionsplanung. Bevor Sie weiter lesen, möchte ich Sie bitten, sich das Video kurz anzuschauen. Es dauert nur wenige Minuten.

Das Video heißt “RWTH-Professor macht Mathematik verständlich“.

Dieses vereinfachte Beispiel enthält die drei Bestandteile eines Optimierungsproblems, das mit mathematischen Methoden gelöst werden kann: Erstens muss man wissen, was überhaupt entschieden werden kann. Hier sind es drei Entscheidungen: wieviele Herren- und wieviele Damenfahrräder wir heute produzieren werden, und ob wir einen Mitarbeitenden aus einer anderen Abteilung in der Produktion einsetzen wollen oder nicht. Um dem näher zu kommen, frage ich z.B.

“Welche Informationen enthält der konkrete Plan, der dem Ausführenden übergeben wird?”

Man muss zweitens einen Plan bewerten können. Die Frage dahinter ist

“Wenn ich Ihnen zwei Pläne vorlege, können Sie mir sagen, welcher Plan besser ist und warum?”

Das ist manchmal nicht einfach zu beantworten! Schließlich, drittens, müssen wir beschreiben, was einen Plan eigentlich ausmacht, also welche Vorgaben unverrückbar sind und eingehalten werden müssen. Dabei ist es manchmal nicht leicht, was z.B. technisch nicht anders darstellbar ist von dem zu unterscheiden, “was wir schon immer so gemacht haben”.

“Welche Vorgaben sind also wirklich unverrückbar und welche nur in unseren Köpfen?”

Manche solcher Vorgaben sind so selbstverständlich, dass man sie beim ersten Durchdenken sogar vergisst. Das fällt dann spätestens auf, wenn man die ersten Pläne begutachtet. Wenn wir uns gemeinsam diese drei Fragen gestellt haben, in der Sprache der Optimierung also 1. Variablen, 2. Zielfunktion und 3. Restriktionen eines Modells festgelegt haben, können wir mathematische Algorithmen anwenden, die Lösungen, also Pläne produzieren. Diese Pläne erfüllen dann garantiert alle Vorgaben. Außerdem ist sichergestellt, dass es keine anderen Pläne gibt, die unseren Vorstellungen besser entsprechen. Darum geht es ja bei Optimierung: Etwas bestmöglich zu machen.

Nun wenden wir uns der unvermeidbaren Frage zu, die Ihnen garantiert die ganze Zeit auf den Nägeln brennt: warum in aller Welt sollten wir eine so einfache und überschaubare Aufgabe wie die der Fahrradproduktion in unserem Video so kompliziert darstellen und von einem Computer lösen lassen? Ganz einfach! Das müssten wir nicht! Aber wenn wir einmal das Prinzip verstanden haben, werden wir es immer wieder entdecken, vor allem auch in Situationen, wo diese Vorgehensweise absolut sinnvoll oder sogar alternativlos ist. Es kann in der Praxis ganz schnell passieren, dass wir Millionen Entscheidungen auf einmal treffen müssten, um zu optimalen Ergebnissen zu kommen. Millionen! Ich zeige Ihnen ein Beispiel, wo das so ist. Wissen Sie was auf folgendem Foto abgebildet ist?

Lehrveranstaltungsplanung von Hand

Das ist ein Stundenplan. Genauer ist es ein Ausschnitt des Vorlesungsplans für die Studierenden des Maschinenbaus an der RWTH Aachen, fotografiert vor etwa drei Jahren. Eine Stundenplanerin nur für diesen einen Studiengang hat mehrere solcher Tafeln und muss darauf alle Veranstaltungen der verschiedenen Fachsemester anordnen. Jede Menge Konflikte sind dabei zu berücksichtigen; keine zwei Pflichtveranstaltungen zur selben Zeit, selbstverständlich kann auch kein Professor gleichzeitig zwei Veranstaltungen halten, kein Raum darf doppelt belegt werden. Die Übungsstunde zur Vorlesung soll manchmal direkt im Anschluss an die Vorlesung stattfinden, manchmal muss der Hörsaal über eine gewisse Ausstattung verfügen, Professoren können wegen vieler Verpflichtungen nicht zu allen Zeiten lehren usw. Das ganze wird noch viel unübersichtlicher, wenn man bedenkt, dass in vielen Vorlesungen manchmal zehn, zwanzig verschiedene Studiengänge sitzen (etwa in den Grundlagenfächern, durch die viele Studierende “durch müssen”). Dann müssen sich all die zugehörenden Stundenplanenden untereinander abstimmen. Es gibt an der RWTH mehr als 50 davon.

Können Sie die Millionen Entscheidungen schon erahnen, die hier eigentlich simultan getroffen werden müssten? Eine davon: Planen wir die Vorlesung “Maschinenelemente” am Montag um 8.15 in den größten Hörsaal “Audimax” oder nicht? Diese Frage gilt es zu beantworten für 3000 Veranstaltungen, 40 Zeiten im Stundenplan und mehr als 500 Räume… beim nächsten Mal!

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